「知乎·致知计划·前沿节点群·地震学」Q值与频率呈幂律相关性的黏声波方程(Hao and Greenhalgh,2022)【选译】 (2024)

Hao, Q., & Greenhalgh, S. (2022). Viscoacoustic wave equations for the power-law dependence of Q on frequency.Proceedings of the Royal Society A,478(2260), 20220024.

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复杂介质地震波动力学研究索引

摘 要

  品质因子 Q 与频率的幂律相关性(即 Q=Q_0\left|f / f_0\right|^\gamma ),为简洁起见,它被称为幂律频率相关 Q,是地球内部地震波衰减的常见唯象描述。微分形式的波动方程对于准确有效地建立耗散地震波形的正演和反演模型至关重要。然而,所有现有方法似乎都无法将指数参数 \gamma 显式地引入微分形式的波动方程。这一缺点显然限制了通过波动方程对空间变化的 \gamma 进行基于梯度的反演方法的发展。在本文中,我们使用加权函数法推导出了幂律频率相关 Q 的黏声波方程,其中显式地引入参数 \gammaQ_0。该方法的关键步骤是构建耗散模型,其复模量用加权函数的 N 阶序列表示。通过数值示例说明了耗散模型的准确性、\gamma 对波形的影响,以及新提出的波动方程在用于幂律频率相关 Q 的黏声波场模拟中的应用。

1. 引 言

  地震波在固体地球中具有耗散性。地震波耗散可由多种因素引起,如部分熔融、位错弛豫、小尺度异质性等。地震波的耗散用品质因子(即 Q)来表征,定义为一个周期内非耗散谐平面波的平均能量与同一周期内耗散谐平面波能量损失之比的 4 \pi(Hudson,1980)[1]。作为一种唯象模型,Q 值与频率的幂律相关性(即 Q \sim\left(f / f_0\right)^\gamma ),也称为幂律频率相关 Q,被广泛证明与实验室和现场地震衰减观测结果十分吻合(Berckhemer et al.,1979;Kampfmann and Berckhemer,1985;Romanowicz and Mitchell,2007)[2][3][4]。与频率无关的 Q (也称为常 Q )相比,幂律频率相关 Q 涉及一个额外的参数 \gamma,它控制着频率相关性的速率。设 \gamma=0,则幂律频率相关 Q 变为常 Q。虽然 \gamma 通常受 0 \leq \gamma \leq 1 的约束,但它因地区和地震观测频带的变化而有很大差异。例如,频率范围 \left[10^{-8}, 10^{-2}\right] \mathrm{Hz} 的Chandler摆动、潮汐和自由振荡数据中的 0.2 \leq \gamma \leq 0.33 (Anderson and Minster,1979)[5];频率范围 [25,102] \mathrm{~Hz} 的日本长野西部地壳上部的 P 波和 S 波分别对应 \gamma=0.660.12 (Yoshimoto et al.,1998)[6];频率范围 [0,4] \mathrm{~Hz} 的澳大利亚地幔上部宽带数据中的 0.2 \leq \gamma \leq 1 (Cheng and Kennett,2002)[7]。除了这些来自地震的结果,在地震勘探中也观察到了幂律频率相关 Q (Beckwith et al.,2017)[8]。值得注意的是,如果不将固有衰减和散射衰减分开,或忽略几何展布的频率相关性,幂律频率相关 Q 可能会被高估(Morozov,2008,2010)[9][10]

Q 引入波动方程对于耗散波的时域正演模拟和反演建模至关重要。然而,幂律频率相关 Q 的精确复模量通常不是频率的解析函数(Muller,1983)[11]。因此,幂律频率相关 Q 的精确波动方程涉及弛豫函数和波场的时域卷积。计算指定时间的卷积需要波场的完整时间历史,而计算机内存有限,计算量过大,无法满足这一要求。克服这一问题的常用方法是以微分形式推导波动方程,这比涉及时间卷积的波动方程在计算上更有效率。顺便一提,我们不把涉及非整数的分数导数的波动方程视为微分形式的波动方程,因为这种导数本质上是积分。广义标准线性固体模型(SLS)(也称Zener模型)等同于广义Maxwell模型,可用于在感兴趣的频率范围内数值地拟合幂律频率相关 Q ,从而推导出微分形式的波动方程(Liu and Archuleta,2006;Bellis and Holtzman,2014;Withers et al.,2015;Blanc et al.,2016)[12][13][14][15]。然而,这个波动方程并没有显式包含指数参数 \gamma 或指定的 Q 参数。Fitchtner and Driel(2014)[16]显式地将指定的 Q 参数引入了波动方程,但指数参数 \gamma 仍隐式地出现在他们的波动方程中。到目前为止,似乎还没有可行的方法将指数参数 \gamma 和指定 Q 参数以微分形式显式地引入波动方程

  本文采用加权函数法,以微分形式推导幂律频率相关 Q 的黏声波方程,其中显式地包含指数参数和指定的 Q 参数。这种方法最初是在Hao and Greenhalgh(2021a)[17]Hao and Greenhalgh(2021b)[18]中提出的,用于推导常 Q 波动方程,具有类似的优点。加权函数的形式与广义SLS模型的复模量相同,但与任何介质参数无关。加权函数在表示指定耗散模型的复模量时起着基函数的作用。复模量可以转换为弛豫函数,即与应变阶跃函数相对应的应力。与复模量和弛豫函数之间的对应关系类似,加权函数对应于时间函数,可用来表示弛豫函数。重要的是,正如Hao and Greenhalgh(2021a)[17]Hao and Greenhalgh(2021b)[18]对常 Q 所证明的那样,分别用加权函数和时间函数表示的复模量和弛豫函数总是可以推导出微分形式的耗散波方程。这一性质可以完全转移到幂律频率相关 Q

  由于我们将使用傅里叶变换和品质因子,为了清楚起见,值得介绍一下它们的约定。傅里叶变换及其逆变换的定义与文献Hao and Greenhalgh(2021a)[17]Hao and Greenhalgh(2021b)[18]Hao and Greenhalgh(2019)[19]一致。耗散模型的复模量一般表示为 M_R-i \operatorname{sgn}(\omega) M_I ,其中 i 为虚数单位。负号是傅里叶变换的约定。根据Knopoff(1964)[20],品质因子通过复模量定义为 Q=M_R / M_I

2. 幂律频率相关 Q 的耗散模型

  我们从精确幂律频率相关 Q 的耗散模型开始,然后构建接近(或近似)幂律频率相关 Q 的耗散模型。对于所有模型,正参考频率 \bbox[#0F0,5px,border:0px solid blue] {\omega_0} 时的复模量定义为 \bbox[#0F0,5px,border:0px solid blue] {M\left(\omega_0\right)=M_0\left(1-\mathrm{i} / Q_0\right)} ,其中 \bbox[#0F0,5px,border:0px solid blue] {M_0}\bbox[#0F0,5px,border:0px solid blue] {Q_0} 分别是参考模量和品质因子。

(a) 精确幂律频率相关 Q

  参考Anderson(2007)[21],幂律频率相关 Q 的品质因子表示为: \bbox[#0F0,10px,border:10px solid blue] {Q(\omega)=Q_0\left|\frac{\omega}{\omega_0}\right|^\gamma}\tag{2.1}其中,\gamma 是一个无量纲指数参数,与地球的当地温度有关,通常在 01 之间变化Anderson(2007)[21]。对于给定的 Q 函数,可以通过Kronig-Kramers关系式推导出相应的复模量。根据Muller(1983)[11],精确幂律频率相关 Q 的复模量为: \bbox[#0F0,10px,border:10px solid blue] {M=M_0\left[1-i \operatorname{sgn}(\omega) Q_0^{-1}\right] \frac{A(\omega) \exp [-\mathrm{i} \phi(\omega)]}{A\left(\omega_0\right) \exp \left[-\mathrm{i} \phi\left(\omega_0\right)\right]}}\tag{2.2}其中 \bbox[#0F0,10px,border:10px solid blue] {\ln A(\omega)=B-\frac{1}{\pi} \text { p.v. } \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\phi\left(\omega^{\prime}\right)}{\omega^{\prime}-\omega} \mathrm{d} \omega^{\prime}}\tag{2.3}而且 \bbox[#0F0,10px,border:10px solid blue] {\phi(\omega)=\operatorname{sgn}(\omega) \arctan Q^{-1}(\omega)}\tag{2.4}这里,B 是一个常数,在 A(\omega)A\left(\omega_0\right) 之比中消失。方程(2.2)和(2.4)与文献Muller(1983)[11]中的方程不同,因为复模量(2.2)是根据 \omega_0 时的参考模量校准的,而品质因子(2.1)是作为频率的偶函数指定的。

参考

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